MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăTeoria Mulțimilor
Într-o clasă sunt 30 de elevi. 18 participă la olimpiada de matematică, 12 la olimpiada de fizică, și 6 la ambele. Se aleg la întâmplare 3 elevi. a) Calculați probabilitatea ca exact 2 dintre ei să participe la olimpiada de matematică. b) Știind că cel puțin unul dintre cei 3 elevi participă la olimpiada de fizică, calculați probabilitatea ca exact 2 să participe la olimpiada de matematică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Definește mulțimile: MM - elevii care participă la matematică, FF - la fizică. ∣M∣=18|M|=18, ∣F∣=12|F|=12, ∣M∩F∣=6|M \cap F|=6, ∣M∪F∣=18+12−6=24|M \cup F|=18+12-6=24, iar numărul total de elevi este 30.
22 puncte
Numărul total de moduri de a alege 3 elevi din 30 este C303=30!3!27!C_{30}^3 = \frac{30!}{3!27!}.
33 puncte
Pentru partea a), numărul de cazuri favorabile pentru exact 2 participanți la matematică: alege 2 din cei 18 din MM și 1 din cei 12 din non-MM (adică 30−18=1230-18=12). Deci C182×C121C_{18}^2 \times C_{12}^1. Probabilitatea este P(A)=C182×C121C303P(A) = \frac{C_{18}^2 \times C_{12}^1}{C_{30}^3}.
44 puncte
Pentru partea b), fie BB evenimentul că cel puțin unul participă la fizică. P(B)=1−P(B‾)P(B) = 1 - P(\overline{B}), unde B‾\overline{B} este niciunul în FF. Numărul de moduri de a alege 3 elevi din non-FF (care are 30−12=1830-12=18 elevi) este C183C_{18}^3, deci P(B)=1−C183C303P(B) = 1 - \frac{C_{18}^3}{C_{30}^3}. Fie AA evenimentul de la partea a). Calculează P(A∩B)P(A \cap B). A∩B‾A \cap \overline{B} este evenimentul că exact 2 din MM și niciunul în FF. Pentru aceasta, alege 2 din cei 12 elevi doar în MM (adică M∖FM \setminus F) și 1 din cei 6 elevi în niciuna, deci C122×C61C_{12}^2 \times C_{6}^1. Atunci P(A∩B)=P(A)−P(A∩B‾)=C182×C121−C122×C61C303P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \overline{B}) = \frac{C_{18}^2 \times C_{12}^1 - C_{12}^2 \times C_{6}^1}{C_{30}^3}. Probabilitatea condiționată este P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=C182×C121−C122×C61C3031−C183C303P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{ \frac{C_{18}^2 \times C_{12}^1 - C_{12}^2 \times C_{6}^1}{C_{30}^3} }{ 1 - \frac{C_{18}^3}{C_{30}^3} }.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.