MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=12(an+2an)a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right) pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție că an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1, deci șirul este mărginit inferior.\n
23 puncte
Folosind inegalitatea mediilor, se obține an+1≥2a_{n+1} \geq \sqrt{2} pentru n≥1n \geq 1, iar din an+1−an=12(2an−an)a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{a_n} - a_n \right) se arată că an+1≤ana_{n+1} \leq a_n pentru n≥2n \geq 2, deci șirul este descrescător și mărginit.\n
34 puncte
Presupunând convergența, fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din relația de recurență, L=12(L+2L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right), care conduce la L2=2L^2 = 2, deci L=2L = \sqrt{2} (deoarece an>0a_n > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.