MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=αa_1 = \alpha, unde α>0\alpha > 0, și an+1=12(an+2an)a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right) pentru n≥1n \ge 1. Arătați că pentru orice α>0\alpha > 0, șirul este convergent și determinați limita sa. Pentru α=1\alpha = 1, calculați a3a_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Prin inducție, an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \ge 1, deoarece α>0\alpha>0 și operațiile păstrează pozitivitatea.
23 puncte
Folosind inegalitatea mediilor, an+1=12(an+2an)≥an⋅2an=2a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right) \ge \sqrt{a_n \cdot \frac{2}{a_n}} = \sqrt{2}, pentru n≥1n \ge 1.
32 puncte
Pentru n≥2n \ge 2, an≥2a_n \ge \sqrt{2}, deci an+1≤ana_{n+1} \le a_n deoarece 12(an+2an)≤an⇔2an≤an⇔an≥2\frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right) \le a_n \Leftrightarrow \frac{2}{a_n} \le a_n \Leftrightarrow a_n \ge \sqrt{2}. Astfel, șirul este descrescător și mărginit.
43 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=12(L+2L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right), ce conduce la L2=2L^2 = 2, deci L=2L = \sqrt{2} (deoarece an>0a_n > 0).
51 punct
Pentru α=1\alpha=1, a2=12(1+21)=32a_2 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = \frac{3}{2}, a3=12(32+23/2)=12(32+43)=12⋅176=1712a_3 = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3/2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} + \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.