MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Se consideră șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin bn=∑k=1n(−1)k+1kb_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}. Studiați convergența acestui șir.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se analizează subșirurile (b2n)(b_{2n}) și (b2n−1)(b_{2n-1}). Se arată că b2n=b2n−1+12nb_{2n} = b_{2n-1} + \frac{1}{2n}, iar prin comparații succesive se demonstrează că (b2n)(b_{2n}) este crescător și (b2n−1)(b_{2n-1}) este descrescător, ambele fiind mărginite.\n
23 puncte
Se calculează lim⁡n→∞(b2n−b2n−1)=lim⁡n→∞12n=0\lim_{n \to \infty} (b_{2n} - b_{2n-1}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0, indicând că subșirurile au aceeași limită.\n
33 puncte
Conform proprietăților șirurilor, dacă subșirurile parțiale converg la aceeași limită, atunci șirul (bn)(b_n) este convergent (aplicând criteriul lui Leibniz pentru serii alternate).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.