MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Se consideră șirul (xn)(x_n) definit recursiv prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru n≥1n \geq 1. Să se demonstreze că șirul este convergent și să se găsească limita sa. Apoi, să se arate că xn<2x_n < 2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Demonstrați prin inducție matematică că 0<xn<20 < x_n < 2 pentru orice nn și că șirul este crescător, deci convergent.
24 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=L+2L^2 = L + 2, cu soluția pozitivă L=2L = 2 (deoarece L≥0L \geq 0). Verificați că inegalitatea xn<2x_n < 2 se menține.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.