MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+6a_{n+1} = \sqrt{a_n + 6} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Să se arate că șirul (an)(a_n) este mărginit și monoton. b) Să se demonstreze că șirul este convergent și să i se calculeze limita. c) Să se determine cel mai mic număr natural nn pentru care ∣an−3∣<10−3|a_n - 3| < 10^{-3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că 2≤an≤32 \leq a_n \leq 3 pentru orice n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, a1=2a_1=2, deci 2≤2≤32 \leq 2 \leq 3. Presupunem 2≤ak≤32 \leq a_k \leq 3; atunci ak+1=ak+6a_{k+1} = \sqrt{a_k + 6}, cu 8≤ak+6≤98 \leq a_k + 6 \leq 9, deci 8≤ak+1≤3\sqrt{8} \leq a_{k+1} \leq 3, iar 8>2\sqrt{8} > 2, deci 2≤ak+1≤32 \leq a_{k+1} \leq 3.
23 puncte
Se arată că șirul este monoton crescător. Comparăm an+1a_{n+1} și ana_n: an+1−an=an+6−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n + 6} - a_n. Considerăm funcția f(x)=x+6−xf(x) = \sqrt{x+6} - x pe [2,3][2,3]. Derivata f′(x)=12x+6−1<0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} - 1 < 0 pe [2,3][2,3], deci f este descrescătoare. Cum f(2)=8−2>0f(2) = \sqrt{8} - 2 > 0 și f(3)=0f(3) = 0, rezultă că f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [2,3][2,3], deci an+1≥ana_{n+1} \geq a_n.
32 puncte
Șirul este mărginit și monoton, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din relația de recurență, L=L+6L = \sqrt{L + 6}, deci L2=L+6L^2 = L + 6, adică L2−L−6=0L^2 - L - 6 = 0. Soluțiile sunt L=3L=3 și L=−2L=-2. Cum șirul are termeni pozitivi, L=3L=3.
42 puncte
Pentru a găsi cel mai mic nn cu ∣an−3∣<10−3|a_n - 3| < 10^{-3}, observăm că șirul este crescător spre 3, deci ∣an−3∣=3−an|a_n - 3| = 3 - a_n. Calculăm termenii: a1=2a_1=2, a2=8≈2.8284a_2=\sqrt{8} \approx 2.8284, a3=8.8284≈2.9714a_3=\sqrt{8.8284} \approx 2.9714, a4=8.9714≈2.9952a_4=\sqrt{8.9714} \approx 2.9952, a5=8.9952≈2.9992a_5=\sqrt{8.9952} \approx 2.9992. Atunci 3−a5≈0.0008<10−33 - a_5 \approx 0.0008 < 10^{-3}, deci n=5n=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.