MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Știind că a1+a2+a3=26a_1 + a_2 + a_3 = 26 și a12+a22+a32=364a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 364, determinați rația qq și primul termen a1a_1. Apoi, calculați suma S=lim⁡n→∞∑k=1nakS = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k dacă este convergentă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se exprimă termenii progresiei: a1a_1, a2=a1qa_2 = a_1 q, a3=a1q2a_3 = a_1 q^2. Condițiile devin: a1(1+q+q2)=26a_1(1 + q + q^2) = 26 și a12(1+q2+q4)=364a_1^2(1 + q^2 + q^4) = 364.
23 puncte
Se împarte a doua ecuație la pătratul primei: 1+q2+q4(1+q+q2)2=364262=91169\frac{1 + q^2 + q^4}{(1 + q + q^2)^2} = \frac{364}{26^2} = \frac{91}{169}. Se notează t=q+1qt = q + \frac{1}{q} și se observă că 1+q2+q4=(1+q+q2)2−2q(1+q+q2)+q21 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)^2 - 2q(1 + q + q^2) + q^2. Alternativ, se poate scrie 1+q2+q4(1+q+q2)2=(q2+q+1)(q2−q+1)(1+q+q2)2=q2−q+1q2+q+1=91169\frac{1 + q^2 + q^4}{(1 + q + q^2)^2} = \frac{(q^2 + q + 1)(q^2 - q + 1)}{(1 + q + q^2)^2} = \frac{q^2 - q + 1}{q^2 + q + 1} = \frac{91}{169}. Rezolvând, se obține q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}.
32 puncte
Pentru q=2q=2, din a1(1+2+4)=26a_1(1+2+4)=26 rezultă a1=267a_1 = \frac{26}{7}. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, din a1(1+12+14)=26a_1\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=26 rezultă a1=8a_1 = 8.
42 puncte
Seria ∑k=1∞ak\sum_{k=1}^{\infty} a_k converge dacă ∣q∣<1|q| < 1. Pentru q=2q=2, seria diverge. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, converge și S=a11−q=81−12=16S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{8}{1-\frac{1}{2}} = 16.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.