MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Se defineşte şirul (an)n≥0(a_n)_{n\ge 0} prin a0=1a_0 = 1, a1=4a_1 = 4 şi relaţia de recurenţă liniară an+2=4an+1−3ana_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n pentru orice n≥0n\ge 0. Determinaţi formula termenului general ana_n. Apoi calculaţi suma S=∑k=0nakS = \sum_{k=0}^{n} a_k şi studiaţi convergenţa şirului (bn)n≥1(b_n)_{n\ge 1} definit prin bn=an3nb_n = \frac{a_n}{3^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Ecuaţia caracteristică asociată recurenţei este r2=4r−3r^2 = 4r - 3, adică r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0, cu rădăcinile r1=1r_1 = 1 şi r2=3r_2 = 3. Termenul general are forma an=A⋅1n+B⋅3n=A+B⋅3na_n = A \cdot 1^n + B \cdot 3^n = A + B \cdot 3^n.
22 puncte
Din condiţiile iniţiale: pentru n=0n=0, a0=A+B=1a_0 = A + B = 1; pentru n=1n=1, a1=A+3B=4a_1 = A + 3B = 4. Se rezolvă sistemul, obţinând B=32B = \frac{3}{2} şi A=−12A = -\frac{1}{2}. Deci an=−12+32⋅3n=3n+1−12a_n = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot 3^n = \frac{3^{n+1} - 1}{2}.
32 puncte
Suma S=∑k=0nak=∑k=0n3k+1−12=12(3∑k=0n3k−∑k=0n1)=12(3⋅3n+1−13−1−(n+1))=12(3n+2−32−(n+1))=3n+2−3−2(n+1)4=3n+2−2n−54S = \sum_{k=0}^{n} a_k = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^{k+1} - 1}{2} = \frac{1}{2} \left( 3\sum_{k=0}^{n} 3^k - \sum_{k=0}^{n} 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 3 \cdot \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} - (n+1) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3^{n+2} - 3}{2} - (n+1) \right) = \frac{3^{n+2} - 3 - 2(n+1)}{4} = \frac{3^{n+2} - 2n - 5}{4}.
42 puncte
Şirul bn=an3n=3n+1−123n=3n+1−12⋅3n=3−3−n2b_n = \frac{a_n}{3^n} = \frac{\frac{3^{n+1} - 1}{2}}{3^n} = \frac{3^{n+1} - 1}{2 \cdot 3^n} = \frac{3 - 3^{-n}}{2}. Se observă că lim⁡n→∞bn=3−02=32\lim_{n\to\infty} b_n = \frac{3 - 0}{2} = \frac{3}{2}, deci şirul (bn)(b_n) este convergent.
52 puncte
Se analizează monotonia: bn+1−bn=3−3−(n+1)2−3−3−n2=3−n−3−(n+1)2=3−n(1−13)2=3−n⋅232=3−n3>0b_{n+1} - b_n = \frac{3 - 3^{-(n+1)}}{2} - \frac{3 - 3^{-n}}{2} = \frac{3^{-n} - 3^{-(n+1)}}{2} = \frac{3^{-n}(1 - \frac{1}{3})}{2} = \frac{3^{-n} \cdot \frac{2}{3}}{2} = \frac{3^{-n}}{3} > 0. Deci (bn)(b_n) este strict crescător şi mărginit, convergând la 32\frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.