MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeStudiul funcțiilorLogaritmi
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} cu termenul general xn=2n2−n+1n2+3x_n = \frac{2n^2 - n + 1}{n^2 + 3}. a) Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa. b) Studiați monotonia șirului (xn)(x_n). c) Fie yn=log⁡2(xn)y_n = \log_2(x_n). Calculați lim⁡n→∞yn\lim_{n \to \infty} y_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a), se calculează limita: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞2n2−n+1n2+3=lim⁡n→∞2−1n+1n21+3n2=2\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - n + 1}{n^2 + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{3}{n^2}} = 2. Deci șirul este convergent cu limita 2.
24 puncte
Pentru b), se studiază diferența xn+1−xn=2(n+1)2−(n+1)+1(n+1)2+3−2n2−n+1n2+3x_{n+1} - x_n = \frac{2(n+1)^2 - (n+1) + 1}{(n+1)^2 + 3} - \frac{2n^2 - n + 1}{n^2 + 3}. După calcule, se obține xn+1−xn=7n2+2n−11(n2+3)((n+1)2+3)x_{n+1} - x_n = \frac{7n^2 + 2n - 11}{(n^2+3)((n+1)^2+3)}. Pentru n≥2n \geq 2, numeratorul este pozitiv (de exemplu, pentru n=2n=2, 7⋅4+4−11=21>07\cdot4 + 4 - 11 = 21 > 0), deci xn+1>xnx_{n+1} > x_n, adică șirul este crescător pentru n≥2n \geq 2. Pentru n=1n=1, x2−x1=7⋅1+2⋅1−11(1+3)(4+3)=−228<0x_2 - x_1 = \frac{7\cdot1 + 2\cdot1 - 11}{(1+3)(4+3)} = \frac{-2}{28} < 0, deci șirul nu este monoton pe întreg domeniul, dar este crescător de la n=2n=2.
33 puncte
Pentru c), folosind limita de la a), lim⁡n→∞xn=2\lim_{n \to \infty} x_n = 2, deci lim⁡n→∞yn=log⁡2(2)=1\lim_{n \to \infty} y_n = \log_2(2) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.