MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare este pp. Se fac 5 încercări independente. Știind că probabilitatea ca evenimentul să se producă de cel puțin 3 ori este 12\frac{1}{2}, determinați valoarea lui pp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea formulei probabilității binomiale. Pentru n=5n=5 încercări independente, probabilitatea ca evenimentul să se producă exact kk ori este P(X=k)=C5kpk(1−p)5−kP(X=k) = C_5^k p^k (1-p)^{5-k}, unde XX este variabila aleatoare numărul de apariții.
23 puncte
Exprimarea probabilității ca evenimentul să se producă de cel puțin 3 ori. P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C53p3(1−p)2+C54p4(1−p)1+C55p5(1−p)0P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = C_5^3 p^3 (1-p)^2 + C_5^4 p^4 (1-p)^1 + C_5^5 p^5 (1-p)^0.
33 puncte
Formarea ecuației în pp. Se știe că P(X≥3)=12P(X \geq 3) = \frac{1}{2}, deci 10p3(1−p)2+5p4(1−p)+p5=1210 p^3 (1-p)^2 + 5 p^4 (1-p) + p^5 = \frac{1}{2}. Se simplifică: factor comun p3p^3, dar mai bine se calculează direct. 10p3(1−p)2+5p4(1−p)+p5=1210 p^3 (1-p)^2 + 5 p^4 (1-p) + p^5 = \frac{1}{2}. Se notează q=1−pq = 1-p, deci 10p3q2+5p4q+p5=1210 p^3 q^2 + 5 p^4 q + p^5 = \frac{1}{2}.
42 puncte
Rezolvarea ecuației și determinarea lui pp. Se observă că ecuația este simetrică pentru pp și q=1−pq=1-p, deci se testează p=12p=\frac{1}{2}. Pentru p=12p=\frac{1}{2}, P(X≥3)=10⋅(12)3(12)2+5⋅(12)4(12)+(12)5=10⋅132+5⋅132+132=10+5+132=1632=12P(X \geq 3) = 10 \cdot (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^2 + 5 \cdot (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} + 5 \cdot \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}. Astfel, p=12p=\frac{1}{2} este soluție. Se verifică dacă există alte soluții: ecuația este polinomială de gradul 5, dar din context, pp este probabilitate, deci 0≤p≤10 \leq p \leq 1. Se poate arăta că funcția f(p)=P(X≥3)f(p)=P(X \geq 3) este crescătoare în pp, deci soluția este unică. Prin urmare, p=12p=\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.