MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiStudiul funcțiilor
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=ln⁡(1+an)a_{n+1} = \ln(1 + a_n) pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătarea că șirul este descrescător: se consideră funcția f(x)=ln⁡(1+x)−xf(x) = \ln(1+x) - x pentru x>0x > 0; f′(x)=−x1+x<0f'(x) = -\frac{x}{1+x} < 0, deci f(x)<f(0)=0f(x) < f(0) = 0, așadar ln⁡(1+x)<x\ln(1+x) < x și an+1<ana_{n+1} < a_n.
23 puncte
Arătarea că șirul este mărginit inferior de 0: prin inducție, a1=1>0a_1 = 1 > 0 și dacă an>0a_n > 0, atunci an+1=ln⁡(1+an)>ln⁡1=0a_{n+1} = \ln(1+a_n) > \ln 1 = 0.
34 puncte
Aplicarea teoremei convergenței șirurilor monotone și mărginite; fie L=lim⁡anL = \lim a_n, atunci din relația de recurență L=ln⁡(1+L)L = \ln(1+L), deci eL=1+Le^L = 1+L; ecuația are soluția unică L=0L=0, deci lim⁡an=0\lim a_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.