MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=xn2+1n2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + \frac{1}{n^2}} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este crescător și mărginit, apoi calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție că șirul este crescător. Deoarece xn+12=xn2+1n2>xn2x_{n+1}^2 = x_n^2 + \frac{1}{n^2} > x_n^2 și termenii sunt pozitivi, rezultă xn+1>xnx_{n+1} > x_n.
23 puncte
Se arată că șirul este mărginit. Din recurență, xn+12=xn2+1n2x_{n+1}^2 = x_n^2 + \frac{1}{n^2}, deci prin sumare xn2=1+∑k=1n−11k2≤1+∑k=1∞1k2=1+π26x_n^2 = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} \leq 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{\pi^2}{6}, de unde xn≤1+π26x_n \leq \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{6}}.
34 puncte
Fiind crescător și mărginit, șirul este convergent. Din xn+12=xn2+1n2x_{n+1}^2 = x_n^2 + \frac{1}{n^2}, trecând la limită și notând L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n, se obține L2=L2+0L^2 = L^2 + 0, ceea ce nu determină LL. Folosind expresia xn2=1+∑k=1n−11k2x_n^2 = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}, avem lim⁡n→∞xn2=1+π26\lim_{n \to \infty} x_n^2 = 1 + \frac{\pi^2}{6}, deci L=1+π26L = \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{6}} (termenii fiind pozitivi).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.