MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an1+ana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul este strict descrescător. b) Calculați ana_n în funcție de nn. c) Determinați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătăm că an+1<ana_{n+1} < a_n: prin inducție, an>0a_n > 0 pentru toți nn, deci an+1=an1+an<ana_{n+1} = \frac{a_n}{1+a_n} < a_n.
24 puncte
Observăm că 1an+1=1an+1\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 1, deci șirul (1an)(\frac{1}{a_n}) este o progresie aritmetică cu rația 1. Cum 1a1=1\frac{1}{a_1} = 1, avem 1an=1+(n−1)⋅1=n\frac{1}{a_n} = 1 + (n-1)\cdot 1 = n, deci an=1na_n = \frac{1}{n}.
33 puncte
Limita: lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.