MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=12(an+5an)a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{5}{a_n} \right) pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se demonstrează prin inducție că an>0a_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1 și că pentru n≥2n \geq 2, an≥5a_n \geq \sqrt{5} folosind inegalitatea mediilor: 12(an+5an)≥an⋅5an=5\frac{1}{2} \left( a_n + \frac{5}{a_n} \right) \geq \sqrt{a_n \cdot \frac{5}{a_n}} = \sqrt{5}.
23 puncte
Se studiază monotonția calculând an+1−an=12(5an−an)a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{a_n} - a_n \right). Pentru n≥2n \geq 2, din an≥5a_n \geq \sqrt{5} rezultă 5an≤an\frac{5}{a_n} \leq a_n, deci an+1≤ana_{n+1} \leq a_n, adică șirul este descrescător începând cu n=2n=2.
33 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 5\sqrt{5}, deci este convergent. Notăm L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
42 puncte
Trecând la limită în relația de recurență, se obține L=12(L+5L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{5}{L} \right), echivalent cu L2=5L^2 = 5. Cum L>0L > 0, rezultă L=5L = \sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.