MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateEcuații iraționale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit recursiv prin a1=2a_1 = \sqrt{2} și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este crescător și mărginit, și calculați limita sa LL. Verificați apoi că LL satisface ecuația x=2+xx = \sqrt{2 + x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prin inducție matematică, se arată că an<2a_n < 2 pentru orice nn (pentru n=1n=1, 2<2\sqrt{2} < 2; dacă an<2a_n < 2, atunci an+1=2+an<2+2=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2). De asemenea, an+1>ana_{n+1} > a_n, deoarece an+12=2+an>an2a_{n+1}^2 = 2 + a_n > a_n^2 (deoarece an<2a_n < 2 implică 2+an>an22 + a_n > a_n^2 pentru an>0a_n > 0). Astfel, șirul este crescător și mărginit superior.
23 puncte
Presupunând că șirul este convergent, fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din recurență, trecând la limită, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}, adică L2=2+LL^2 = 2 + L. Rezolvând ecuația L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, avem L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Cum an>0a_n > 0 pentru toți nn, limita este L=2L = 2.
33 puncte
Verificare: 2=2+2=4=22 = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2, ceea ce confirmă că L=2L = 2 satisface ecuația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.