MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul de numere reale (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 pentru orice n≥1n \ge 1. Calculați suma S=a1+a2+⋯+a10S = a_1 + a_2 + \dots + a_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsiți formula termenului general al șirului. Observați că șirul poate fi scris ca an+1+3=2(an+3)a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3). Definind bn=an+3b_n = a_n + 3, obținem bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n, deci (bn)(b_n) este o progresie geometrică cu rația 2 și b1=a1+3=4b_1 = a_1 + 3 = 4. Atunci bn=4⋅2n−1=2n+1b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}, deci an=2n+1−3a_n = 2^{n+1} - 3.
24 puncte
Calculați suma folosind formula termenului general. S=∑n=110an=∑n=110(2n+1−3)=∑n=1102n+1−∑n=1103=∑k=2112k−30S = \sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} (2^{n+1} - 3) = \sum_{n=1}^{10} 2^{n+1} - \sum_{n=1}^{10} 3 = \sum_{k=2}^{11} 2^k - 30. Suma progresiei geometrice: ∑k=2112k=22⋅210−12−1=4⋅(1024−1)=4092\sum_{k=2}^{11} 2^k = 2^2 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 4 \cdot (1024 - 1) = 4092.
33 puncte
Efectuați calculele finale. S=4092−30=4062S = 4092 - 30 = 4062.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.