MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeTrigonometrie
Fie șirul (xn)(x_n) definit prin x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4} și xn+1=arctan⁡(xn)x_{n+1} = \arctan(x_n) pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați că șirul (xn)(x_n) este descrescător și mărginit. Funcția arctan⁡(x)\arctan(x) este crescătoare și arctan⁡(x)<x\arctan(x) < x pentru x>0x > 0. Deoarece x1>0x_1 > 0, prin inducție xn>0x_n > 0 și xn+1=arctan⁡(xn)<xnx_{n+1} = \arctan(x_n) < x_n, deci șirul este descrescător și mărginit inferior de 0.
23 puncte
Conform teoremei convergenței șirurilor monotone și mărginite, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n.
33 puncte
Trecând la limită în relația de recurență, avem L=arctan⁡(L)L = \arctan(L). Ecuația L=arctan⁡(L)L = \arctan(L) are soluția L=0L=0 (singura soluție reală, deoarece arctan⁡(x)=x\arctan(x) = x doar pentru x=0x=0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.