MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii Geometrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 pentru n≥1n \ge 1. Determinați termenul general ana_n și calculați suma Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se rescrie recurența sub forma an+1+3=2(an+3)a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3), identificând șirul auxiliar (bn)(b_n) cu bn=an+3b_n = a_n + 3, care este o progresie geometrică cu rația 2.
23 puncte
Se deduce că bn=b1⋅2n−1b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}, unde b1=a1+3=4b_1 = a_1 + 3 = 4, deci an=4⋅2n−1−3=2n+1−3a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3 = 2^{n+1} - 3.
32 puncte
Se exprimă suma Sn=∑k=1nak=∑k=1n(2k+1−3)S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 3) ca diferență între suma unei progresii geometrice și a unei constante.
42 puncte
Se calculează Sn=22+23+⋯+2n+1−3n=4⋅2n−12−1−3n=2n+2−4−3n=2n+2−3n−4S_n = 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1} - 3n = 4 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} - 3n = 2^{n+2} - 4 - 3n = 2^{n+2} - 3n - 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.