MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1} definit prin In=∫01xnex dxI_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul (In)(I_n) este convergent. b) Calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Arătați că șirul este descrescător și mărginit. Pentru orice n≥1n \geq 1 și x∈[0,1]x \in [0,1], avem xn+1ex≤xnexx^{n+1} e^x \leq x^n e^x, deci In+1≤InI_{n+1} \leq I_n, adică șirul este descrescător. De asemenea, In≥0I_n \geq 0 pentru că integrandul este nenegativ pe [0,1][0,1], și In≤∫01ex dx=e−1I_n \leq \int_0^1 e^x \, dx = e - 1, deoarece xn≤1x^n \leq 1 pe [0,1][0,1]. Așadar, șirul este mărginit inferior de 0 și superior de e−1e-1. Fiind descrescător și mărginit, este convergent.
25 puncte
Calculați limita. Folosiți faptul că pentru x∈[0,1)x \in [0,1), xn→0x^n \to 0 când n→∞n \to \infty. Pentru orice ϵ>0\epsilon > 0, alegeți δ∈(0,1)\delta \in (0,1) astfel încât ∫δ1ex dx<ϵ/2\int_\delta^1 e^x \, dx < \epsilon/2. Atunci In=∫0δxnex dx+∫δ1xnex dxI_n = \int_0^\delta x^n e^x \, dx + \int_\delta^1 x^n e^x \, dx. Primul integral: ∫0δxnex dx≤eδ∫0δxn dx=eδδn+1n+1→0\int_0^\delta x^n e^x \, dx \leq e^\delta \int_0^\delta x^n \, dx = e^\delta \frac{\delta^{n+1}}{n+1} \to 0 când n→∞n \to \infty, deci pentru nn suficient de mare, ∫0δxnex dx<ϵ/2\int_0^\delta x^n e^x \, dx < \epsilon/2. Al doilea integral: ∫δ1xnex dx≤∫δ1ex dx<ϵ/2\int_\delta^1 x^n e^x \, dx \leq \int_\delta^1 e^x \, dx < \epsilon/2. Astfel, pentru nn mare, In<ϵI_n < \epsilon, deci lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.