MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră un pachet standard de 52 de cărți. Se extrag succesiv 5 cărți, fără a le întoarce. Calculați probabilitatea ca exact 2 dintre cărțile extrase să fie ași, știind că prima carte extrasă nu este un as.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea evenimentelor. Fie AA evenimentul că exact 2 cărți sunt ași și BB evenimentul că prima carte nu este un as. Spațiul evenimentelor elementare este mulțimea tuturor submulțimilor de 5 cărți extrase din 52.
23 puncte
Calculul combinatoric. Numărul total de cazuri posibile condiționat de BB: prima carte nu este as, deci sunt 48 de cărți non-As la prima extragere, apoi se extrag încă 4 cărți din cele 51 rămase, deci 48×C51448 \times C_{51}^{4}. Numărul de cazuri favorabile: prima carte nu este as (48 alegeri), apoi trebuie să alegem 2 ași din cei 4 rămași și 2 cărți non-As din cele 47 rămase (după prima extragere, au rămas 51 cărți, dintre care 4 ași și 47 non-As, dar alegerea se face din cele rămase după fiecare extragere; pentru simplitate, folosim combinații considerând extragerea fără a ține cont de ordine, dar condiția este că prima nu este as). Mai corect: probabilitatea condiționată P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. Calculăm P(B)=4852P(B) = \frac{48}{52}. Pentru P(A∩B)P(A \cap B): numărul de moduri de a extrage 5 cărți astfel încât exact 2 sunt ași și prima nu este as: alegem prima carte non-As din 48, apoi din cele 51 cărți rămase, alegem 4 cărți astfel încât exact 2 să fie ași (adică alegem 2 ași din cei 4 rămași și 2 non-As din cele 47 rămaise), deci numărul este 48×C42×C47248 \times C_{4}^{2} \times C_{47}^{2}. Numărul total de moduri de a extrage 5 cărți din 52 este C525C_{52}^{5}.
33 puncte
Aplicarea probabilității condiționate. P(A∣B)=48×C42×C472/C52548/52=C42×C472C514P(A|B) = \frac{48 \times C_{4}^{2} \times C_{47}^{2} / C_{52}^{5}}{48/52} = \frac{C_{4}^{2} \times C_{47}^{2}}{C_{51}^{4}}, după simplificări.
42 puncte
Efectuarea calculelor: C42=6C_{4}^{2} = 6, C472=1081C_{47}^{2} = 1081, C514=249900C_{51}^{4} = 249900, deci P(A∣B)=6×1081249900=6486249900=3243124950≈0.02596P(A|B) = \frac{6 \times 1081}{249900} = \frac{6486}{249900} = \frac{3243}{124950} \approx 0.02596.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.