MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmi
Se consideră șirul (an)(a_n) definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=ln⁡(1+an)a_{n+1} = \ln(1 + a_n) pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrați că șirul (an)(a_n) este descrescător. Folosind inegalitatea ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x) \leq x pentru x>−1x > -1, avem an+1=ln⁡(1+an)≤ana_{n+1} = \ln(1+a_n) \leq a_n, deci șirul este descrescător.
23 puncte
Demonstrați că șirul este mărginit inferior. Deoarece a1=1>0a_1 = 1 > 0 și ln⁡(1+x)>0\ln(1+x) > 0 pentru x>0x > 0, prin inducție se obține an>0a_n > 0 pentru orice nn, deci șirul este mărginit inferior de 0.
34 puncte
Aplicând teorema convergenței șirurilor monotone și mărginite, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, avem L=ln⁡(1+L)L = \ln(1+L). Rezolvând ecuația L=ln⁡(1+L)L = \ln(1+L), se obține L=0L=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.