MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=12ncos⁡(nπ3)a_n = \frac{1}{2^n} \cos\left(\frac{n\pi}{3}\right). Studiați monotonia acestui șir și calculați limita sa. Apoi, determinați suma primilor 10 termeni ai șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că cos⁡(nπ3)\cos\left(\frac{n\pi}{3}\right) este periodic cu perioada 6 și ia valori din mulțimea {1,12,−12,−1,−12,12}\{1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}; factorul 12n\frac{1}{2^n} formează o progresie geometrică cu rația 12\frac{1}{2}.
24 puncte
Comparați ana_n și an+1a_{n+1} calculând an+1−an=12n+1cos⁡((n+1)π3)−12ncos⁡(nπ3)a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2^{n+1}} \cos\left(\frac{(n+1)\pi}{3}\right) - \frac{1}{2^n} \cos\left(\frac{n\pi}{3}\right); arătați că șirul nu este monoton pe întregul domeniu, dar puteți analiza semnul pe subintervale bazate pe periodicitate.
33 puncte
Limita: lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 deoarece 12n→0\frac{1}{2^n} \to 0 și cos⁡\cos este mărginit. Suma primilor 10 termeni: S10=∑k=11012kcos⁡(kπ3)S_{10} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{2^k} \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right); calculați grupând termenii după periodicitatea cosinusului și folosind suma unei progresii geometrice pentru factorul 12k\frac{1}{2^k}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.