MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiMonotonie și convexitate
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=log⁡2(an2+1)a_{n+1} = \log_2(a_n^2 + 1) pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este monoton și mărginit, și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an>0a_n > 0 pentru toți n≥1n \geq 1. Pasul de bază: a1=2>0a_1 = 2 > 0. Pasul inductiv: se presupune an>0a_n > 0, atunci an2+1>1a_n^2 + 1 > 1, deci an+1=log⁡2(an2+1)>log⁡2(1)=0a_{n+1} = \log_2(a_n^2 + 1) > \log_2(1) = 0.\n
23 puncte
Se studiază monotonia. Se consideră diferența an+1−an=log⁡2(an2+1)−ana_{n+1} - a_n = \log_2(a_n^2 + 1) - a_n. Se arată că aceasta este negativă pentru an>0a_n > 0, de exemplu, analizând semnul funcției f(x)=log⁡2(x2+1)−xf(x) = \log_2(x^2 + 1) - x pe (0,∞)(0, \infty), deci șirul este descrescător.\n
32 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 0 (din step 1), deci este convergent.\n
42 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=log⁡2(L2+1)L = \log_2(L^2 + 1). Rezolvând ecuația, se obține L=1L = 1 (soluția unică pozitivă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.