MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeMatematică financiară
Se consideră un depozit bancar cu dobândă compusă anuală de 5%. La începutul fiecărui an, se depune suma de 1000 de lei. Fie ana_n suma totală existentă în cont la sfârșitul anului nn, după ce s-a adăugat dobânda și s-a făcut noul depozit. Se știe că a1=1050a_1 = 1050 lei. a) Determinați relația de recurență pentru ana_n și demonstrați că șirul bn=an−20000b_n = a_n - 20000 este o progresie geometrică. b) Calculați suma totală din cont după 10 ani.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilirea relației de recurență: an=1.05⋅an−1+1000a_{n} = 1.05 \cdot a_{n-1} + 1000, cu a1=1050a_1 = 1050.
24 puncte
Demonstrația că bn=an−20000b_n = a_n - 20000 este progresie geometrică: Se arată că bn=1.05⋅bn−1b_{n} = 1.05 \cdot b_{n-1}, prin înlocuire: bn=(1.05an−1+1000)−20000=1.05(an−1−20000)+1000−20000+1.05⋅20000b_n = (1.05a_{n-1} + 1000) - 20000 = 1.05(a_{n-1} - 20000) + 1000 - 20000 + 1.05 \cdot 20000. Calculând: 1000−20000+21000=10001000 - 20000 + 21000 = 1000, deci bn=1.05bn−1+1000b_n = 1.05b_{n-1} + 1000. Se observă că dacă an−1=20000a_{n-1} = 20000, atunci bn−1=0b_{n-1} = 0, dar pentru a obține progresie geometrică, se verifică că bn=1.05bn−1b_n = 1.05b_{n-1} dacă 1000−20000+1.05⋅20000=01000 - 20000 + 1.05 \cdot 20000 = 0, ceea ce este adevărat deoarece 1.05⋅20000=210001.05 \cdot 20000 = 21000, iar 1000−20000+21000=10001000 - 20000 + 21000 = 1000, deci se corectează: Se consideră bn=an+kb_n = a_n + k și se găsește kk astfel încât bnb_n să fie geometric. Rezolvând 1.05k+1000=k1.05k + 1000 = k, se obține k=−20000k = -20000, deci bn=an+20000b_n = a_n + 20000 este greșit, corect este bn=an−20000b_n = a_n - 20000 dacă 2000020000 este soluția ecuației x=1.05x+1000x = 1.05x + 1000, adică x=−20000x = -20000, deci corect: bn=an+20000b_n = a_n + 20000 nu merge, trebuie bn=an−20000b_n = a_n - 20000 cu 2000020000 găsit din x=1.05x+1000⇒−0.05x=1000⇒x=−20000x = 1.05x + 1000 \Rightarrow -0.05x = 1000 \Rightarrow x = -20000, deci bn=an+20000b_n = a_n + 20000 este corect? Nu, x=−20000x = -20000, deci bn=an+20000b_n = a_n + 20000 dă bn=1.05bn−1b_n = 1.05b_{n-1}. Verificare: bn=an+20000=1.05an−1+1000+20000=1.05(an−1+20000)+1000+20000−1.05⋅20000=1.05bn−1+1000+20000−21000=1.05bn−1+0b_n = a_n + 20000 = 1.05a_{n-1} + 1000 + 20000 = 1.05(a_{n-1} + 20000) + 1000 + 20000 - 1.05 \cdot 20000 = 1.05b_{n-1} + 1000 + 20000 - 21000 = 1.05b_{n-1} + 0, deci bn=1.05bn−1b_n = 1.05b_{n-1}, corect.
33 puncte
Calculul sumei după 10 ani: b1=a1+20000=1050+20000=21050b_1 = a_1 + 20000 = 1050 + 20000 = 21050. bn=b1⋅1.05n−1=21050⋅1.05n−1b_n = b_1 \cdot 1.05^{n-1} = 21050 \cdot 1.05^{n-1}. Pentru n=10n=10, b10=21050⋅1.059b_{10} = 21050 \cdot 1.05^9. a10=b10−20000=21050⋅1.059−20000a_{10} = b_{10} - 20000 = 21050 \cdot 1.05^9 - 20000. Calcul numeric aproximativ: 1.059≈1.551331.05^9 \approx 1.55133, 21050⋅1.55133≈32655.521050 \cdot 1.55133 \approx 32655.5, deci a10≈12655.5a_{10} \approx 12655.5 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.