MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProcenteMatematică aplicată
O populație de animale este modelată prin șirul (Pn)n≥1(P_n)_{n \geq 1}, unde PnP_n este numărul de indivizi în anul nn. Se cunosc P1=1000P_1 = 1000 și Pn+1=90%⋅Pn+50P_{n+1} = 90\% \cdot P_n + 50 pentru n≥1n \geq 1. a) Scrieți relația de recurență sub forma Pn+1=aPn+bP_{n+1} = a P_n + b. b) Determinați dacă șirul (Pn)(P_n) este convergent și, în caz afirmativ, calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
a) Din enunț, Pn+1=0.9Pn+50P_{n+1} = 0.9 P_n + 50, deci a=0.9a = 0.9 și b=50b = 50.
23 puncte
b) Pentru a studia convergența, găsim punctul fix rezolvând ecuația L=0.9L+50L = 0.9L + 50, de unde 0.1L=500.1L = 50 și L=500L = 500.
34 puncte
Definim șirul auxiliar Qn=Pn−500Q_n = P_n - 500. Atunci Qn+1=Pn+1−500=(0.9Pn+50)−500=0.9Pn−450=0.9(Pn−500)=0.9QnQ_{n+1} = P_{n+1} - 500 = (0.9 P_n + 50) - 500 = 0.9 P_n - 450 = 0.9 (P_n - 500) = 0.9 Q_n. Astfel, (Qn)(Q_n) este o progresie geometrică cu rația 0.90.9 și Q1=500Q_1 = 500, deci Qn=500⋅(0.9)n−1Q_n = 500 \cdot (0.9)^{n-1}, care converge la 0. Prin urmare, lim⁡n→∞Pn=500\lim_{n \to \infty} P_n = 500.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.