MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (cn)n≥0(c_n)_{n \geq 0} definit prin c0=2c_0 = 2 și cn+1=cn+63c_{n+1} = \frac{c_n + 6}{3} pentru n≥0n \geq 0. Să se demonstreze prin inducție matematică că șirul este descrescător și mărginit, apoi să se determine lim⁡n→∞cn\lim_{n \to \infty} c_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrația mărginirii prin inducție: arătăm că 2≤cn≤32 \leq c_n \leq 3 pentru orice nn. Pentru n=0n=0, c0=2c_0=2, adevărat. Presupunem 2≤ck≤32 \leq c_k \leq 3, atunci ck+1=ck+63≤3+63=3c_{k+1} = \frac{c_k + 6}{3} \leq \frac{3+6}{3} = 3 și ≥2+63=83≈2.667>2\geq \frac{2+6}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.667 > 2, deci 2≤ck+1≤32 \leq c_{k+1} \leq 3.\n
23 puncte
Demonstrația descrescătorii prin inducție: arătăm că cn+1≤cnc_{n+1} \leq c_n pentru orice nn. Pentru n=0n=0, c1=2+63=83≈2.667>2=c0c_1 = \frac{2+6}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.667 > 2 = c_0, deci nu este descrescător? Calcul: c1=83>2c_1 = \frac{8}{3} > 2, deci crescător. Corectez: Să se demonstreze că șirul este crescător. Schimb: cn+1=cn+63c_{n+1} = \frac{c_n + 6}{3}, verificăm c1>c0c_1 > c_0, deci crescător. Demonstrație prin inducție: Presupunem ck+1≥ckc_{k+1} \geq c_k, atunci ck+2=ck+1+63≥ck+63=ck+1c_{k+2} = \frac{c_{k+1} + 6}{3} \geq \frac{c_k + 6}{3} = c_{k+1}. Deci șirul este crescător.\n
32 puncte
Șirul este crescător și mărginit, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞cnL = \lim_{n \to \infty} c_n. Din relația de recurență, L=L+63L = \frac{L + 6}{3}.\n
42 puncte
Rezolvăm ecuația: L=L+63⇒3L=L+6⇒2L=6⇒L=3L = \frac{L + 6}{3} \Rightarrow 3L = L + 6 \Rightarrow 2L = 6 \Rightarrow L = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.