MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=xn+2n+1x_{n+1} = x_n + 2n + 1 pentru n≥1n \ge 1. Arătați că șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \ge 1} cu yn=xn−n2y_n = x_n - n^2 este constant. Deduceți formula termenului general xnx_n și calculați suma Sn=x1+x2+⋯+xnS_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Calculați primii termeni: x1=1x_1=1, x2=1+2⋅1+1=4x_2=1+2\cdot1+1=4, x3=4+2⋅2+1=9x_3=4+2\cdot2+1=9, de unde se observă că xn=n2x_n=n^2.
23 puncte
Arătați că yny_n este constant: yn+1=xn+1−(n+1)2=(xn+2n+1)−(n2+2n+1)=xn−n2=yny_{n+1} = x_{n+1} - (n+1)^2 = (x_n + 2n + 1) - (n^2 + 2n + 1) = x_n - n^2 = y_n.
32 puncte
Deoarece yny_n constant, yn=y1=x1−12=0y_n = y_1 = x_1 - 1^2 = 0, deci xn=n2x_n = n^2.
44 puncte
Calculați suma: Sn=∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6S_n = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.