MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Calculați lim⁡n→∞12+32+52+⋯+(2n−1)2n3\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2}{n^3} folosind identități algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosim identitatea algebrică pentru suma pătratelor numerelor impare: 12+32+⋯+(2n−1)2=n(2n−1)(2n+1)31^2 + 3^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}. Aceasta se poate demonstra prin inducție matematică sau folosind formula pentru suma pătratelor primelor 2n2n numere naturale și scăzând suma pătratelor numerelor pare: ∑i=12ni2=2n(2n+1)(4n+1)6\sum_{i=1}^{2n} i^2 = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} și ∑i=1n(2i)2=4∑i=1ni2=4⋅n(n+1)(2n+1)6\sum_{i=1}^{n} (2i)^2 = 4 \sum_{i=1}^{n} i^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, deci diferența dă n(2n−1)(2n+1)3\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.
23 puncte
Înlocuim în expresia limită: 12+32+⋯+(2n−1)2n3=n(2n−1)(2n+1)3n3=(2n−1)(2n+1)3n2=4n2−13n2\frac{1^2 + 3^2 + \dots + (2n-1)^2}{n^3} = \frac{\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}}{n^3} = \frac{(2n-1)(2n+1)}{3n^2} = \frac{4n^2 - 1}{3n^2}.
33 puncte
Calculăm limita: lim⁡n→∞4n2−13n2=lim⁡n→∞(43−13n2)=43\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 - 1}{3n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4}{3} - \frac{1}{3n^2} \right) = \frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.