MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin bn=∑k=1n1k(k+1)(k+2)b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}. Calculați bnb_n sub formă simplificată și determinați lim⁡n→∞bn\lim_{n \to \infty} b_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Descompuneți fracția 1k(k+1)(k+2)\frac{1}{k(k+1)(k+2)} în fracții simple: 1k(k+1)(k+2)=Ak+Bk+1+Ck+2\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}. Rezolvând sistemul, se obține A=12A = \frac{1}{2}, B=−1B = -1, C=12C = \frac{1}{2}.
23 puncte
Scrieți suma bn=∑k=1n(1/2k−1k+1+1/2k+2)b_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1/2}{k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1/2}{k+2} \right) și simplificați ca sumă telescopă: bn=12(1+12)−(12+13+⋯+1n+1)+12(13+14+⋯+1n+2)b_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n+2} \right), care se reduce la bn=12(1+12−1n+1−1n+2)b_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right).
33 puncte
Calculați limita: lim⁡n→∞bn=12(1+12)=34\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.