MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii Geometrice
Fie (bn)(b_n) un șir geometric cu termeni pozitivi. Dacă b1+b3=5b_1 + b_3 = 5 și b1⋅b2⋅b3=8b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 8, determinați rația șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm primul termen cu b1b_1 și rația cu qq. Atunci b2=b1qb_2 = b_1 q, b3=b1q2b_3 = b_1 q^2. Din b1+b3=5b_1 + b_3 = 5, avem b1+b1q2=5b_1 + b_1 q^2 = 5, deci b1(1+q2)=5b_1 (1 + q^2) = 5.
23 puncte
Din b1⋅b2⋅b3=8b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 8, avem b1⋅b1q⋅b1q2=b13q3=8b_1 \cdot b_1 q \cdot b_1 q^2 = b_1^3 q^3 = 8, deci (b1q)3=8(b_1 q)^3 = 8, și deoarece termenii sunt pozitivi, b1q=2b_1 q = 2.
34 puncte
Din b1q=2b_1 q = 2, avem b1=2qb_1 = \frac{2}{q}. Înlocuim în ecuația b1(1+q2)=5b_1 (1 + q^2) = 5: 2q(1+q2)=5\frac{2}{q} (1 + q^2) = 5. Înmulțim cu qq: 2(1+q2)=5q2(1 + q^2) = 5q, deci 2+2q2=5q2 + 2q^2 = 5q, adică 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0. Rezolvăm ecuația: discriminantul Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci q=5±34q = \frac{5 \pm 3}{4}, adică q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}. Ambele valori sunt pozitive și corespund unor șiruri cu termeni pozitivi. Verificăm: pentru q=2q=2, din b1q=2b_1 q = 2, avem b1=1b_1 = 1, atunci b3=1⋅4=4b_3 = 1 \cdot 4 = 4, și b1+b3=5b_1 + b_3 = 5, corect. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, b1=4b_1 = 4, b3=4⋅14=1b_3 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1, și b1+b3=5b_1 + b_3 = 5, corect. Deci rația poate fi 22 sau 12\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.