MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Se consideră șirul (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0} definit prin x0=1x_0 = 1 și xn+1=xn2+22xnx_{n+1} = \frac{x_n^2 + 2}{2x_n} pentru n≥0n \geq 0. Să se arate că șirul este convergent și să i se afle limita. Apoi, să se calculeze lim⁡n→∞(xn−2)⋅2n\lim_{n \to \infty} (x_n - \sqrt{2}) \cdot 2^n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează că xn≥2x_n \geq \sqrt{2} pentru n≥1n \geq 1 (prin inducție: x1=12+22⋅1=1.5>2x_1 = \frac{1^2+2}{2\cdot1}=1.5 > \sqrt{2}, iar dacă xn≥2x_n \geq \sqrt{2}, atunci xn+1=xn2+22xn≥(2)2+222=422=2x_{n+1} = \frac{x_n^2+2}{2x_n} \geq \frac{(\sqrt{2})^2+2}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}). Apoi se arată că șirul este descrescător pentru n≥1n \geq 1: xn+1≤xn⇔xn2+22xn≤xn⇔xn2+2≤2xn2⇔2≤xn2x_{n+1} \leq x_n \Leftrightarrow \frac{x_n^2+2}{2x_n} \leq x_n \Leftrightarrow x_n^2+2 \leq 2x_n^2 \Leftrightarrow 2 \leq x_n^2, adevărat din xn≥2x_n \geq \sqrt{2}. Deci șirul este descrescător și mărginit inferior, deci convergent.
23 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită, L=L2+22LL = \frac{L^2+2}{2L}, deci 2L2=L2+2⇔L2=2⇔L=22L^2 = L^2+2 \Leftrightarrow L^2=2 \Leftrightarrow L=\sqrt{2} (fiindcă xn≥2x_n \geq \sqrt{2}). Deci lim⁡n→∞xn=2\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{2}.
34 puncte
Pentru a calcula limita cerută, se consideră eroarea en=xn−2e_n = x_n - \sqrt{2}. Din recurența, xn+1−2=xn2+22xn−2=xn2−22xn+22xn=(xn−2)22xnx_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2+2}{2x_n} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2 - 2\sqrt{2}x_n + 2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt{2})^2}{2x_n}. Deci en+1=en22xne_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}. Pentru nn mare, xn≈2x_n \approx \sqrt{2}, deci en+1≈en222e_{n+1} \approx \frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}. Prin inducție, se obține că en∼C2ne_n \sim \frac{C}{2^n} pentru o constantă CC. Mai precis, lim⁡n→∞(xn−2)⋅2n=2\lim_{n \to \infty} (x_n - \sqrt{2}) \cdot 2^n = \sqrt{2} (se poate deduce din en+1=en22xne_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n} și xn→2x_n \to \sqrt{2}, că lim⁡n→∞en⋅2n=2\lim_{n \to \infty} e_n \cdot 2^n = \sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.