MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=1n∑k=1n1+kna_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{k}{n}}. Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se identifică că șirul este o sumă Riemann pentru funcția f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1+x} pe intervalul [0,1][0,1], cu partiții echidistante de lungime 1n\frac{1}{n} și puncte intermediare xk=knx_k = \frac{k}{n}.
24 puncte
Limita șirului este egală cu integrala definită: lim⁡n→∞an=∫011+x dx\lim_{n \to \infty} a_n = \int_0^1 \sqrt{1+x} \, dx.
32 puncte
Se calculează integrala: ∫011+x dx=[23(1+x)3/2]01=23(23/2−1)=23(22−1)\int_0^1 \sqrt{1+x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} (1+x)^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.