MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Se consideră șirul (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0} definit prin x0=1x_0 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥0n \geq 0. Să se arate că șirul este convergent și să i se calculeze limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătăm prin inducție că șirul este mărginit: 1≤xn<21 \leq x_n < 2 pentru orice n≥0n \geq 0. Pentru n=0n=0, x0=1x_0=1. Presupunem 1≤xn<21 \leq x_n < 2, atunci xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2+x_n} satisface 3≤xn+1<4=2\sqrt{3} \leq x_{n+1} < \sqrt{4} = 2, și cum 3>1\sqrt{3} > 1, avem 1≤xn+1<21 \leq x_{n+1} < 2.
23 puncte
Arătăm că șirul este monoton crescător: xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2+x_n} - x_n. Considerăm funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x pe [1,2)[1,2); derivata f′(x)=122+x−1f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1 este negativă, deci f este descrescătoare și f(1)=3−1>0f(1) = \sqrt{3}-1 > 0, f(2)=0f(2)=0, deci f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [1,2)[1,2), deci xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n.
33 puncte
Aplicăm teorema convergenței șirurilor monotone și mărginite: șirul are limită finită LL. Din relația de recurență, trecând la limită, L=2+LL = \sqrt{2+L}, deci L2=2+LL^2 = 2+L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L=2 și L=−1L=-1. Cum toți termenii sunt pozitivi, L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.