MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an2+22ana_{n+1} = \frac{a_n^2 + 2}{2a_n} pentru orice n≥1n \ge 1. a) Arătați că an>2a_n > \sqrt{2} pentru orice n≥1n \ge 1. b) Demonstrați că șirul este descrescător. c) Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că an>2a_n > \sqrt{2} pentru orice n≥1n \ge 1. Pentru n=1n=1, a1=2>2a_1=2 > \sqrt{2}. Presupunem an>2a_n > \sqrt{2} și arătăm că an+1>2a_{n+1} > \sqrt{2}: an+1−2=an2+22an−2=an2+2−22an2an=(an−2)22an>0a_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{a_n^2 + 2}{2a_n} - \sqrt{2} = \frac{a_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}a_n}{2a_n} = \frac{(a_n - \sqrt{2})^2}{2a_n} > 0.
24 puncte
Se arată că șirul este descrescător: an+1−an=an2+22an−an=an2+2−2an22an=2−an22an<0a_{n+1} - a_n = \frac{a_n^2 + 2}{2a_n} - a_n = \frac{a_n^2 + 2 - 2a_n^2}{2a_n} = \frac{2 - a_n^2}{2a_n} < 0, deoarece din pasul 1, an>2a_n > \sqrt{2}, deci an2>2a_n^2 > 2.
33 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 2\sqrt{2}, deci este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din relația de recurență, L=L2+22LL = \frac{L^2 + 2}{2L}, deci 2L2=L2+22L^2 = L^2 + 2, adică L2=2L^2 = 2. Cum an>2a_n > \sqrt{2}, rezultă L=2L = \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.