MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=4an−3a_{n+1} = \sqrt{4a_n - 3} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este descrescător și mărginit, apoi determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați că an≥1a_n \geq 1 pentru orice n≥1n \geq 1, folosind inducția matematică sau proprietăți de inegalități.\n
24 puncte
Demonstrați că an+1≤ana_{n+1} \leq a_n pentru orice nn, de exemplu prin calcul direct: an+1−an=4an−3−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{4a_n - 3} - a_n și analizați semnul.\n
33 puncte
Folosind teorema convergenței monoton, șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Rezolvați ecuația L=4L−3L = \sqrt{4L - 3} și obțineți L=1L=1 sau L=3L=3, dar selectați L=1L=1 ținând cont de mărginire și monotonie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.