MediuProbabilitățiClasa 11

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăȘiruri de numere reale
Se aruncă o monedă corectă repetat până când apare prima stema. Fie pkp_k probabilitatea ca numărul total de aruncări să fie kk. a) Demonstrați că pk=12kp_k = \frac{1}{2^k} pentru k≥1k \ge 1. b) Calculați probabilitatea ca numărul de aruncări să fie un număr par. c) Dacă se efectuează nn astfel de experimente independente, găsiți probabilitatea ca în exact mm experimente numărul de aruncări să fie mai mare decât 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru partea a), evenimentul ca numărul de aruncări să fie kk înseamnă că primele k−1k-1 aruncări sunt ban și a kk-a este stemă. Probabilitatea este (12)k−1⋅12=12k\left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^k}.
23 puncte
Pentru partea b), probabilitatea ca numărul de aruncări să fie par este Ppar=∑k=1∞p2k=∑k=1∞122k=∑k=1∞(14)kP_{\text{par}} = \sum_{k=1}^{\infty} p_{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k}} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^k. Aceasta este o serie geometrică cu rația 14\frac{1}{4}, deci Ppar=141−14=13P_{\text{par}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.
34 puncte
Pentru partea c), mai întâi calculați probabilitatea ca într-un singur experiment numărul de aruncări să fie mai mare decât 2: P(X>2)=∑k=3∞pk=∑k=3∞12k=181−12=14P(X > 2) = \sum_{k=3}^{\infty} p_k = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{4}. Apoi, pentru nn experimente independente, probabilitatea ca în exact mm experimente X>2X > 2 este dată de distribuția binomială: Cnm(14)m(34)n−mC_n^m \left( \frac{1}{4} \right)^m \left( \frac{3}{4} \right)^{n-m}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.