MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-o urnă se află nn bile albe și mm bile negre. Se extrag două bile simultan. Probabilitatea ca ambele bile să fie albe este 16\frac{1}{6}, iar probabilitatea ca ambele să fie negre este 13\frac{1}{3}. Determinați numerele naturale nn și mm.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Numărul total de cazuri posibile este Cn+m2=(n+m)(n+m−1)2C_{n+m}^2 = \frac{(n+m)(n+m-1)}{2}.
23 puncte
Probabilitatea ca ambele bile să fie albe este P(A)=Cn2Cn+m2=n(n−1)(n+m)(n+m−1)=16P(A) = \frac{C_n^2}{C_{n+m}^2} = \frac{n(n-1)}{(n+m)(n+m-1)} = \frac{1}{6}. Probabilitatea ca ambele bile să fie negre este P(N)=Cm2Cn+m2=m(m−1)(n+m)(n+m−1)=13P(N) = \frac{C_m^2}{C_{n+m}^2} = \frac{m(m-1)}{(n+m)(n+m-1)} = \frac{1}{3}.
35 puncte
Din ecuațiile de mai sus, obținem n(n−1)(n+m)(n+m−1)=16\frac{n(n-1)}{(n+m)(n+m-1)} = \frac{1}{6} și m(m−1)(n+m)(n+m−1)=13\frac{m(m-1)}{(n+m)(n+m-1)} = \frac{1}{3}. Prin egalarea expresiilor pentru (n+m)(n+m−1)(n+m)(n+m-1), avem 6n(n−1)=3m(m−1)6n(n-1) = 3m(m-1), deci 2n(n−1)=m(m−1)2n(n-1) = m(m-1). Notând S=n+mS = n+m, din prima ecuație n(n−1)=S(S−1)6n(n-1) = \frac{S(S-1)}{6} și din a doua m(m−1)=S(S−1)3m(m-1) = \frac{S(S-1)}{3}. Combinând, găsim că S(S−1)S(S-1) este divizibil cu 6. Rezolvând ecuația 2n(n−1)=m(m−1)2n(n-1) = m(m-1) cu nn și mm naturale, se obține n=15n=15 și m=21m=21 (sau viceversa, dar din context nn este numărul de bile albe, deci n=15n=15 și m=21m=21). Verificare: n+m=36n+m=36, (n+m)(n+m−1)=36⋅35=1260(n+m)(n+m-1)=36 \cdot 35 = 1260, n(n−1)=15⋅14=210n(n-1)=15 \cdot 14 = 210, deci P(A)=210/1260=1/6P(A)=210/1260=1/6, iar m(m−1)=21⋅20=420m(m-1)=21 \cdot 20 = 420, deci P(N)=420/1260=1/3P(N)=420/1260=1/3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.