MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an2+4a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 4} pentru n≥1n \geq 1. a) Arătați că an≥2a_n \geq 2 pentru orice n≥1n \geq 1. b) Demonstrați că șirul este strict crescător. c) Determinați formula explicită pentru ana_n și calculați lim⁡n→∞ann\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Prin inducție matematică: pentru n=1n=1, a1=2≥2a_1=2 \geq 2. Presupunem an≥2a_n \geq 2 și arătăm an+1≥2a_{n+1} \geq 2: an+1=an2+4≥22+4=8>2a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 4} \geq \sqrt{2^2 + 4} = \sqrt{8} > 2, deci an+1≥2a_{n+1} \geq 2; prin inducție, an≥2a_n \geq 2 pentru orice nn.
23 puncte
Pentru a demonstra că șirul este strict crescător, calculăm an+1−an=an2+4−an=4an2+4+an>0a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n^2 + 4} - a_n = \frac{4}{\sqrt{a_n^2 + 4} + a_n} > 0, deoarece numitorul este pozitiv (an≥2a_n \geq 2), deci an+1>ana_{n+1} > a_n pentru orice nn.
33 puncte
Din recurența an+12=an2+4a_{n+1}^2 = a_n^2 + 4, prin inducție sau observație directă, avem an2=4(n−1)+a12=4(n−1)+4=4na_n^2 = 4(n-1) + a_1^2 = 4(n-1) + 4 = 4n, deci an=2na_n = 2\sqrt{n} pentru n≥1n \geq 1 (deoarece an>0a_n > 0).
42 puncte
Calculăm limita: lim⁡n→∞ann=lim⁡n→∞2nn=lim⁡n→∞2n=0\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.