MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (In)n≥0(I_n)_{n \geq 0} definit prin In=∫01xnexdxI_n = \int_0^1 x^n e^x dx. a) Demonstrați că In+1=e−(n+1)InI_{n+1} = e - (n+1)I_n pentru orice n≥0n \geq 0. b) Calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n. c) Utilizând recurența, determinați I5I_5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a), integrarea prin părți: In+1=∫01xn+1exdx=[xn+1ex]01−(n+1)∫01xnexdx=e−(n+1)InI_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^x dx = [x^{n+1} e^x]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x dx = e - (n+1)I_n.
23 puncte
Pentru b), observăm că 0≤In≤∫01exdx=e−10 \leq I_n \leq \int_0^1 e^x dx = e-1, și din recurență, In=e−In+1n+1I_n = \frac{e - I_{n+1}}{n+1}, deci lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0.
34 puncte
Pentru c), folosind recurența: I0=∫01exdx=e−1I_0 = \int_0^1 e^x dx = e-1, I1=e−1⋅I0=e−(e−1)=1I_1 = e - 1\cdot I_0 = e - (e-1) = 1, I2=e−2⋅I1=e−2I_2 = e - 2\cdot I_1 = e-2, I3=e−3⋅I2=e−3(e−2)=6−2eI_3 = e - 3\cdot I_2 = e - 3(e-2) = 6 - 2e, I4=e−4⋅I3=e−4(6−2e)=9e−24I_4 = e - 4\cdot I_3 = e - 4(6-2e) = 9e - 24, I5=e−5⋅I4=e−5(9e−24)=120−44eI_5 = e - 5\cdot I_4 = e - 5(9e-24) = 120 - 44e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.