MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=ln⁡(n2+4n+4)ln⁡(n2+1)a_n = \frac{\ln(n^2 + 4n + 4)}{\ln(n^2 + 1)}. Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că ln⁡(n2+4n+4)=ln⁡((n+2)2)=2ln⁡(n+2)\ln(n^2 + 4n + 4) = \ln((n+2)^2) = 2\ln(n+2) și scrieți an=2ln⁡(n+2)ln⁡(n2+1)a_n = \frac{2\ln(n+2)}{\ln(n^2+1)}.
24 puncte
Folosiți aproximările asimptotice: pentru nn mare, ln⁡(n+2)∼ln⁡n\ln(n+2) \sim \ln n și ln⁡(n2+1)∼2ln⁡n\ln(n^2+1) \sim 2\ln n, deci lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞2ln⁡n2ln⁡n=1\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2\ln n}{2\ln n} = 1.
33 puncte
Prezentați rezultatul final: lim⁡n→∞an=1\lim_{n \to \infty} a_n = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.