MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=3an+4na_{n+1} = 3a_n + 4^n pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, unde bn=an4n−1b_n = \frac{a_n}{4^{n-1}}, este o progresie geometrică, apoi determinați termenul general al șirului (an)(a_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Definiți bn=an4n−1b_n = \frac{a_n}{4^{n-1}} și deduceți din relația de recurență că bn+1=34bn+1b_{n+1} = \frac{3}{4} b_n + 1.
23 puncte
Considerați cn=bn−4c_n = b_n - 4 și arătați că cn+1=34cnc_{n+1} = \frac{3}{4} c_n, deci (cn)(c_n) este o progresie geometrică cu rația 34\frac{3}{4}.
33 puncte
Calculați c1=b1−4=a140−4=−2c_1 = b_1 - 4 = \frac{a_1}{4^{0}} - 4 = -2, apoi termenul general cn=−2⋅(34)n−1c_n = -2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}, de unde bn=4−2⋅(34)n−1b_n = 4 - 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} și an=4n−1bn=4n−2⋅3n−1a_n = 4^{n-1} b_n = 4^n - 2 \cdot 3^{n-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.