MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-lea
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=0a_1 = 0 și an+1=an2−2an+2a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 pentru n≥1n \geq 1. a) Studiați monotonia șirului (an)(a_n). b) Demonstrați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru n=1n=1, a2=02−2⋅0+2=2≥1a_2 = 0^2 - 2\cdot0 + 2 = 2 \geq 1. Presupunând an≥1a_n \geq 1 pentru n≥2n \geq 2, atunci an+1=an2−2an+2=(an−1)2+1≥1a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2 = (a_n - 1)^2 + 1 \geq 1. Prin inducție, an≥1a_n \geq 1 pentru n≥2n \geq 2. Studiați diferența: an+1−an=(an2−2an+2)−an=an2−3an+2=(an−1)(an−2)a_{n+1} - a_n = (a_n^2 - 2a_n + 2) - a_n = a_n^2 - 3a_n + 2 = (a_n - 1)(a_n - 2). Deoarece an≥1a_n \geq 1, semnul depinde de an−2a_n - 2. Pentru an≤2a_n \leq 2, an+1−an≥0a_{n+1} - a_n \geq 0, deci șirul este crescător.
23 puncte
Presupunem că șirul este convergent și notăm L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=L2−2L+2L = L^2 - 2L + 2, adică L2−3L+2=0L^2 - 3L + 2 = 0. Rezolvând, L=1L = 1 sau L=2L = 2.
33 puncte
Arătați că șirul este mărginit: prin inducție, an≤2a_n \leq 2 pentru toți nn (verificați pentru n=1n=1, apoi an+1≤2a_{n+1} \leq 2 dacă an≤2a_n \leq 2). Deoarece șirul este crescător și mărginit, este convergent. Din a1=0a_1=0 și creșterea, limita nu poate fi L=1L=1 (deoarece an≥1a_n \geq 1 doar de la n=2n=2 și crește), deci L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.