MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Considerăm șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin xn=∫01tne−t dtx_n = \int_0^1 t^n e^{-t} \, dt. Arătați că șirul este descrescător și convergent, și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru orice n≥1n \geq 1, pe intervalul [0,1][0,1] avem tn+1≤tnt^{n+1} \leq t^n, deci xn+1=∫01tn+1e−t dt≤∫01tne−t dt=xnx_{n+1} = \int_0^1 t^{n+1} e^{-t} \, dt \leq \int_0^1 t^n e^{-t} \, dt = x_n, ceea ce arată că șirul este descrescător.
23 puncte
Deoarece e−t≤1e^{-t} \leq 1 pentru t∈[0,1]t \in [0,1], rezultă 0≤xn≤∫01tn dt=1n+10 \leq x_n \leq \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1}, deci șirul este mărginit.
33 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior, deci convergent conform teoremei de convergență a șirurilor monotone. Din 0≤xn≤1n+10 \leq x_n \leq \frac{1}{n+1} și lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, folosind teorema cleștelui, obținem lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0.
41 punct
Concluzie: șirul (xn)(x_n) este descrescător, convergent și are limita 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.