MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Studiați monotonia și convergența șirului (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Apoi, calculați limita șirului, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătați că șirul este crescător. De exemplu, se demonstrează prin inducție matematică că an+1>ana_{n+1} > a_n pentru toți n≥1n \geq 1, folosind faptul că 2+an>an\sqrt{2 + a_n} > a_n dacă an<2a_n < 2. \n
23 puncte
Demonstrați că șirul este mărginit superior. Prin inducție, se arată că an<2a_n < 2 pentru orice nn, deoarece a1=1<2a_1 = 1 < 2 și dacă an<2a_n < 2, atunci an+1=2+an<2+2=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2. \n
34 puncte
Deoarece șirul este crescător și mărginit superior, el este convergent. Fie LL limita. Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Rezolvând ecuația L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, se găsește L=2L = 2 (soluția pozitivă, deoarece termenii șirului sunt pozitivi).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.