MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (bn)n≥0(b_n)_{n \ge 0} definit prin b0=1b_0 = 1 și bn+1=2bn+3nb_{n+1} = 2b_n + 3^n pentru n≥0n \ge 0. Determinați formula termenului general bnb_n și calculați lim⁡n→∞bn3n\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{3^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se împarte relația de recurență la 3n+13^{n+1}: bn+13n+1=23⋅bn3n+13\frac{b_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{b_n}{3^n} + \frac{1}{3}. |
22 puncte
Se notează cn=bn3nc_n = \frac{b_n}{3^n}, deci cn+1=23cn+13c_{n+1} = \frac{2}{3} c_n + \frac{1}{3}, cu c0=1c_0 = 1. |
33 puncte
Se observă că cn+1−1=23(cn−1)c_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (c_n - 1). Deoarece c0−1=0c_0 - 1 = 0, rezultă că cn−1=0c_n - 1 = 0 pentru orice nn, deci cn=1c_n = 1 și astfel bn=3nb_n = 3^n. |
43 puncte
Atunci lim⁡n→∞bn3n=lim⁡n→∞1=1\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.