MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematică
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \ge 1. a) Demonstrați prin inducție matematică că xn<2x_n < 2 pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}. b) Arătați că șirul (xn)(x_n) este monoton crescător. c) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1n=1: x1=1<2x_1=1<2, adevărat. Se presupune că xk<2x_k < 2 pentru un k∈Nk \in \mathbb{N} și se demonstrează că xk+1=2+xk<2+2=4=2x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2, deci xk+1<2x_{k+1} < 2, completând inducția.
23 puncte
Se arată că xn+1>xnx_{n+1} > x_n pentru orice nn. Din definiție, xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Pentru xn<2x_n < 2, avem 2+xn>xn\sqrt{2 + x_n} > x_n, deoarece 2+xn>xn22 + x_n > x_n^2 când xn<2x_n < 2 (se poate verifica prin inegalități sau calcul direct).
34 puncte
Șirul este mărginit superior (de 2) și monoton crescător, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită în recurența xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=2+LL^2 = 2 + L. Rezolvând ecuația L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, avem L=2L=2 sau L=−1L=-1. Cum xn>0x_n > 0 pentru toți nn, limita este L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.