MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică de numere reale. Știind că x1+x2+x3=15x_1 + x_2 + x_3 = 15 și x12+x22+x32=107x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 107, determinați primul termen x1x_1 și rația rr. Calculați suma Sn=x1+x2+⋯+xnS_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n în funcție de nn. Studiați convergența șirului (yn)n≥1(y_n)_{n \geq 1} definit prin yn=Snn2y_n = \frac{S_n}{n^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm x1=ax_1 = a și rația rr. Atunci x2=a+rx_2 = a+r, x3=a+2rx_3 = a+2r. Din ipoteze avem sistemul: {a+(a+r)+(a+2r)=15a2+(a+r)2+(a+2r)2=107\begin{cases} a + (a+r) + (a+2r) = 15 \\ a^2 + (a+r)^2 + (a+2r)^2 = 107 \end{cases}. Prima ecuație dă 3a+3r=15⇒a+r=5⇒r=5−a3a+3r=15 \Rightarrow a+r=5 \Rightarrow r=5-a. Înlocuim în a doua: a2+52+(a+2(5−a))2=107⇒a2+25+(10−a)2=107⇒2a2−20a+125=107⇒2a2−20a+18=0⇒a2−10a+9=0a^2 + 5^2 + (a+2(5-a))^2 = 107 \Rightarrow a^2 + 25 + (10-a)^2 = 107 \Rightarrow 2a^2 -20a +125 =107 \Rightarrow 2a^2 -20a +18=0 \Rightarrow a^2 -10a +9=0. Soluțiile: a=1a=1 sau a=9a=9. Pentru a=1a=1, r=4r=4; pentru a=9a=9, r=−4r=-4.
23 puncte
Suma progresiei aritmetice: Sn=n(2x1+(n−1)r)2S_n = \frac{n(2x_1 + (n-1)r)}{2}. Pentru (x1=1,r=4)(x_1=1, r=4): Sn=n(2⋅1+(n−1)⋅4)2=n(4n−2)2=n(2n−1)S_n = \frac{n(2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 4)}{2} = \frac{n(4n-2)}{2} = n(2n-1). Pentru (x1=9,r=−4)(x_1=9, r=-4): Sn=n(2⋅9+(n−1)(−4))2=n(22−4n)2=n(11−2n)S_n = \frac{n(2 \cdot 9 + (n-1)(-4))}{2} = \frac{n(22-4n)}{2} = n(11-2n).
33 puncte
yn=Snn2y_n = \frac{S_n}{n^2}. Pentru prima soluție: yn=n(2n−1)n2=2−1n⇒lim⁡n→∞yn=2y_n = \frac{n(2n-1)}{n^2} = 2 - \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} y_n = 2. Pentru a doua soluție: yn=n(11−2n)n2=11n−2⇒lim⁡n→∞yn=−2y_n = \frac{n(11-2n)}{n^2} = \frac{11}{n} - 2 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} y_n = -2. În ambele cazuri, șirul (yn)(y_n) este convergent.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.