MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 pentru orice n≥1n \geq 1. Determinați termenul general al șirului și calculați limita șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se caută o constantă cc astfel încât șirul (bn)(b_n) cu bn=an+cb_n = a_n + c să fie geometric. Din an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3, obținem bn+1=an+1+c=2an+3+c=2(bn−c)+3+c=2bn+3−cb_{n+1} = a_{n+1} + c = 2a_n + 3 + c = 2(b_n - c) + 3 + c = 2b_n + 3 - c. Pentru ca bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n, este necesar 3−c=03 - c = 0, deci c=3c = 3. Atunci bn=an+3b_n = a_n + 3 și bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n, cu b1=4b_1 = 4.
23 puncte
Șirul (bn)(b_n) este o progresie geometrică cu rația 22, deci bn=4⋅2n−1=2n+1b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}. Așadar, an=2n+1−3a_n = 2^{n+1} - 3.
33 puncte
Calculăm lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(2n+1−3)=+∞\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (2^{n+1} - 3) = +\infty, deci șirul este divergent la infinit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.