MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (un)n≥1(u_n)_{n \geq 1} definit prin un=∑k=1n1k−ln⁡nu_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n. a) Demonstrați că șirul (un)(u_n) este descrescător și mărginit. b) Calculați limita γ=lim⁡n→∞un\gamma = \lim_{n \to \infty} u_n (constanta Euler-Mascheroni). c) Folosind inegalitatea 1n+1<ln⁡(n+1)−ln⁡n<1n\frac{1}{n+1} < \ln(n+1) - \ln n < \frac{1}{n}, arătați că 0<γ<10 < \gamma < 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a), considerăm un+1−un=1n+1−ln⁡(n+1)+ln⁡n=1n+1−ln⁡(1+1n)u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - \ln(n+1) + \ln n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right). Din inegalitatea dată, 1n+1<ln⁡(n+1)−ln⁡n<1n\frac{1}{n+1} < \ln(n+1) - \ln n < \frac{1}{n}, deci ln⁡(1+1n)>1n+1\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > \frac{1}{n+1}, astfel un+1−un<0u_{n+1} - u_n < 0, deci șirul descrescător. Mărginire: din inegalitate, sumând, obținem un>0u_n > 0 și un<1u_n < 1 (de exemplu, u1=1−ln⁡1=1u_1 = 1 - \ln 1 = 1, și șirul descrescător).
23 puncte
Pentru b), șirul descrescător și mărginit inferior, deci convergent. Limita este constanta Euler-Mascheroni γ\gamma.
33 puncte
Pentru c), din inegalitatea 1k+1<ln⁡(k+1)−ln⁡k<1k\frac{1}{k+1} < \ln(k+1) - \ln k < \frac{1}{k} pentru k≥1k \geq 1, sumând de la k=1k=1 la nn, avem ∑k=1n1k+1<ln⁡(n+1)<∑k=1n1k\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} < \ln(n+1) < \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}. Rearanjând, ∑k=1n1k−ln⁡(n+1)>0\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n+1) > 0 și ∑k=1n1k−ln⁡n<1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n < 1, deci 0<un<10 < u_n < 1, și trecând la limită, 0≤γ≤10 \leq \gamma \leq 1, dar din monotonia strictă, γ>0\gamma > 0, și din un<1u_n < 1, γ<1\gamma < 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.