MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} de numere reale definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an+2a_{n+1} = \sqrt{a_n + 2} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este mărginit și monoton, și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că șirul este crescător; se verifică a2>a1a_2 > a_1 și se presupune ak+1>aka_{k+1} > a_k, apoi se arată ak+2>ak+1a_{k+2} > a_{k+1} folosind ak+1=ak+2a_{k+1} = \sqrt{a_k + 2}.
23 puncte
Se arată că șirul este mărginit superior; prin inducție, se demonstrează că an<2a_n < 2 pentru orice nn, verificând pentru n=1n=1 și presupunând ak<2a_k < 2, atunci ak+1=ak+2<2+2=2a_{k+1} = \sqrt{a_k + 2} < \sqrt{2 + 2} = 2.
34 puncte
Folosind proprietățile limitelor, deoarece șirul este convergent (fiind mărginit și monoton), fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n; din relația de recurență, L=L+2L = \sqrt{L + 2}, deci L2=L+2L^2 = L + 2, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=−1L = -1 și L=2L = 2. Cum an≥0a_n \geq 0 pentru orice nn, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.